Question

6．过抛物线C：y²=8x的焦点F作直线与C交于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点P，则|$\frac{AB}{PF}$|=2．

Answer 1

分析 设直线l的方程，代入抛物线的方程，由韦达定理及抛物线的焦点弦公式求得丨AB丨，利用中点坐标公式，求得中点M坐标，利用点斜式方程，求得直线AB垂直平分线方程，当y=0，求得P点坐标，求得丨PF丨，即可求得|$\frac{AB}{PF}$|．

解答 解：设直线AB的方程y=k（x-2），（k≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{{y}^{2}=8x}\end{array}\right.$，k²x²-（4k²+8）+4k²=0，
x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}+8}{{k}^{2}}$，x₁x₂=4，
丨AB丨=x₁+x₂+p=$\frac{8{k}^{2}+8}{{k}^{2}}$，
则y₁+y₂=$\frac{8}{k}$，
则AB的中点M（$\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$，$\frac{4}{k}$），
直线AB垂直平分线方程：y-$\frac{4}{k}$=-$\frac{1}{k}$（x-$\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$），
当y=0，解得：x=$\frac{6{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$，
丨PF丨=$\frac{6{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$-2=$\frac{4{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$，
∴|$\frac{AB}{PF}$|=$\frac{\frac{8{k}^{2}+8}{{k}^{2}}}{\frac{4{k}^{2}+4}{{k}^{2}}}$=2，
∴|$\frac{AB}{PF}$|=2，
故答案为：2．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查中点坐标公式，韦达定理，抛物线的焦点弦公式，考查计算能力，属于中档题．