Question

14．直线m：kx+y+4=0（k∈R） 是圆C：x²+y²+4x-4y+6=0的一条对称轴，过点A（0，k）作斜率为1的直线n，则直线n被圆C所截得的弦长为（　　）

• A． $\sqrt{14}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{6}$
• D． 2$\sqrt{6}$

Answer 1

分析 推导出直线m：kx+y+4=0（k∈R） 经过圆C：x²+y²+4x-4y+6=0的圆心C（-2，2），从而求出A（0，3），进而求出直线n的方程，由此能求出直线n被圆C所截得的弦长．

解答 解：∵直线m：kx+y+4=0（k∈R） 是圆C：x²+y²+4x-4y+6=0的一条对称轴，
∴直线m：kx+y+4=0（k∈R） 经过圆C：x²+y²+4x-4y+6=0的圆心C（-2，2），
∴-2k+2+4=0，解得k=3，∴A（0，3），
∵过点A（0，k）作斜率为1的直线n，
∴直线n的方程为：y-3=x，即x-y+3=0，
圆心C（-2，2）直线n的距离d=$\frac{|-2-2+3|}{\sqrt{1+1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
圆C的半径r=$\frac{1}{2}\sqrt{16+16-24}$=$\sqrt{2}$，
∴直线n被圆C所截得的弦长：
|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=2$\sqrt{2-\frac{1}{2}}$=$\sqrt{6}$．
故选：C．

点评 本题考查直线被圆截得的弦长的求法，考查圆、直线方程、点到直线距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．