Question

10．已知正项数列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，2a_n²=a_n-1²+a_n+1²（n≥2），b_n=$\frac{1}{{{a_n}+{a_{n+1}}}}$，记数列{b_n}的前n项和为S_n，则S₄₀的值是（　　）

• A． $\frac{11}{3}$
• B． $\frac{10}{3}$
• C． 10
• D． 11

Answer 1

分析 由2a_n²=a_n-1²+a_n+1²（n≥2），可得数列$\{{a}_{n}^{2}\}$是等差数列，首项为${a}_{1}^{2}$=1，公差为${a}_{2}^{2}-{a}_{1}^{2}$=3．利用通项公式可得${a}_{n}^{2}$=3n-2．a_n＞0．可得a_n=$\sqrt{3n-2}$．可得b_n=$\frac{1}{{{a_n}+{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{3}（\sqrt{3n+1}-\sqrt{3n-2}）$，再利用累加求和方法即可得出．

解答 解：由2a_n²=a_n-1²+a_n+1²（n≥2），可得数列$\{{a}_{n}^{2}\}$是等差数列，首项为${a}_{1}^{2}$=1，公差为${a}_{2}^{2}-{a}_{1}^{2}$=3．
∴${a}_{n}^{2}$=1+3（n-1）=3n-2．a_n＞0．
∴a_n=$\sqrt{3n-2}$．
b_n=$\frac{1}{{{a_n}+{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{\sqrt{3n-2}+\sqrt{3n+1}}$=$\frac{1}{3}（\sqrt{3n+1}-\sqrt{3n-2}）$，
∴S₄₀=$\frac{1}{3}$$[（2-1）+（\sqrt{7}-2）$+…+$（\sqrt{121}-\sqrt{118}）]$
=$\frac{1}{3}×（11-1）$
=$\frac{10}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式、累加求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．