Question

学习“三角”时，小明同学在参考书上看到求sin18°精确值的一种方法，具体如下：设等腰△ABC的顶角∠A=36°．底角∠B的平分线交腰AC于D，且BC=1（如图），则AD=BD=1，于是，在△BCD中，可得CD=2sin18°．由△BAC∽△CBD得

AC

BC

=

BD

CD

，即

1+2sin18°

1

=

1

2sin18°

，整理得4sin²18°+2sin18°-1=0，又sin18°（0，1），故解得sin18°=

5 -1

4

．现设α，β，α+β均属于区间（0，

π

2

），若cos（

3π

2

-2β）•sin（2α+β）=cos（

π

2

+2α）•sin（α+2β），则下列命题正确的是（　　）

• A、关于x的方程α•4^x+β•2^x+α=0有实数解
• B、关于x的方程α•（log₄x）²+β•log₄x-α=0无实数解
• C、关于x的方程sinx=

  2β-α

  α

  有实数解
• D、关于x的方程cosx=

  β

  2a+β

  无实数解

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：创新题型

分析：题干信息较多的选择题，应该从选项入手．

解答： 解：1 4^x=（2^x）²，则可以把A选项看成是一个关于2^x的二元一次函数，由已知条件可知，α、β均大于0，2^x也大于0，所以A选项中的所有项都是大于0的，所以其和不可能为0，故无解．
    2 对于B选项可从判别式入手，得△=β²+4αβ，根据题意，α、β均大于0，所以判别式也大于0，故方程有解，B错
    3 只要讨论

2β-α

α

的绝对值小于等于1即可，即|

2β-α

α

|≤1有解，解之，有0≤β≤α，这个解题干信息可以满足，故C有解，C正确
    4 同理，只需判断|

β

2α+β

|＞1是不是恒成立，我们解不等式有：α+β＜0或者α＜0，显然与题干信息不符，故D错误，
故选：C

点评：这种题，题干信息比较多，也比较难，但选项简单易判，故应该从选项着手会更容易些．