Question

20．方程（a²+1）x²-2ax-3=0的两根x₁，x₂满足|x₂|＜x₁（1-x₁），且0＜x₁＜1，则实数a的取值范围为$a∈（-\frac{3}{2}，1-\sqrt{3}）∪（1+\sqrt{3}，+∞）$．

Answer 1

分析 根据方程根的个数与判别式之间的关系证明△＞0恒成立，由题意判断出另一个根的范围，再由f（1）＞0求出a的范围，利用f（0）＜0进一步确定两个根的关系，再由韦达定理求出a范围，再取交集．

解答 解：∵|x₂|＜x₁（1-x₂），∴x₁（1-x₂）＞0，
又∵0＜x₁＜1，∴x₂＜1
设f（x）=（a²+1）x²-2ax-3，∵方程有两根，∴△=4a²+12（a²+1）＞0恒成立，
则f（1）=a²-2a-2＞0，解得a＞1+$\sqrt{3}$或a＜1-$\sqrt{3}$；
∵f（0）=-3，
∴x₂＜0＜x₁＜1，
则|x₂|＜x₁（1-x₂）可化简为：x₁+x₂＞x₁x₂，
利用韦达定理得$\frac{2a}{{a}^{2}+1}$＞-$\frac{3}{{a}^{2}+1}$，
解得a＞-$\frac{3}{2}$．
∴实数a的取值范围是：（-$\frac{3}{2}$，1-$\sqrt{3}$）∪（1+$\sqrt{3}$，+∞）
故答案为：$a∈（-\frac{3}{2}，1-\sqrt{3}）∪（1+\sqrt{3}，+∞）$

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．