【题目】已知函数f(x)=x2﹣2x+2.
(1)求f(x)单调区间
(2)求f(x)在区间[ ,3]上的最大值和最小值;
(3)若g(x)=f(x)﹣mx在[2,4]上是单调函数,求m的取值范围.
【答案】
(1)解:f(x)的对称轴是x=1,故函数f(x)在(﹣∞,1)递减,在(1,+∞)递增
(2)解:∵f(x)=x2﹣2x+2=(x﹣1)2+1,x∈[ ,3],
∴f(x)的最小值是f(1)=1,f(x)的最大值是f(3)=5,
即f(x)在区间[ ,3]上的最大值是5,最小值是1
(3)解:∵g(x)=f(x)﹣mx=x2﹣(m+2)x+2
,∴ ≤2,或
≥4,
解得m≤2或m≥6,
故m的取值范围是(﹣∞,2]∪[6,+∞)
【解析】(1)求出函数 的对称轴,从而求出函数 的单调区间即可;(2)根据f(x)=x2﹣2x+2=(x﹣1)2+1,x∈[ ,3],再利用二次函数的性质求得f(x)在区间[
,3]上的最值即可;(3)根据g(x)=f(x)﹣mx=x2﹣(m+2)x+2在[2,4]上是单调函数,可得
≤2,或
≥4,由此求得m的取值范围.
【考点精析】本题主要考查了二次函数的性质的相关知识点,需要掌握当时,抛物线开口向上,函数在
上递减,在
上递增;当
时,抛物线开口向下,函数在
上递增,在
上递减才能正确解答此题.
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【题目】如图,在多面体中,已知四边形
为矩形,
为平行四边形,点
在平面
内的射影恰好为点
,
的中点为
,
的中点为
,且
.
(1)求证:平面平面
;
(2)求三棱锥的体积.
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【题目】在某单位的职工食堂中,食堂每天以元/个的价格从面包店购进面包,然后以
元/个的价格出售.如果当天卖不完,剩下的面包以
元/个的价格卖给饲料加工厂.根据以往统计资料,得到食堂每天面包需求量的频率分布直方图如下图所示.食堂某天购进了90个面包,以
(单位:个,
)表示面包的需求量,
(单位:元)表示利润.
(Ⅰ)求关于
的函数解析式;
(Ⅱ)根据直方图估计利润不少于
元的概率;
(III)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中间值的概率(例如:若需求量,则取
,且
的概率等于需求量落入
的频率),求
的分布列和数学期望.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线经过点A(0,4),B(1,0),C(5,0),其对称轴与x 轴相交于点M.
(1)求抛物线的解析式和对称轴;
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使△PAB的周长最小?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)连结AC,在直线AC的下方的抛物线上,是否存在一点N,使△NAC的面积最大?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知函数f(x)=x+ (Ⅰ)判断函数的奇偶性,并加以证明;
(Ⅱ)用定义证明f(x)在(0,1)上是减函数;
(Ⅲ)函数f(x)在(﹣1,0)上是单调增函数还是单调减函数?(直接写出答案,不要求写证明过程).
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【题目】已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的水平测试,现学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样统计,先将800人按001,002,003,…,800进行编号.
(Ⅰ)如果从第8行第7列的数开始向右读,请你依次写出最先检测的3个人的编号:(下面摘取了第7行至第9行)
(Ⅱ)抽的100人的数学与地理的水平测试成绩如下表:
成绩优秀、良好、及格三个等级,横向、纵向分别表示地理成绩与数学成绩,例如:表中数学成绩为良好的共有20+18+4=42人,若在该样本中,数学成绩优秀率为30%,求的值.
(Ⅲ)将,
的
表示成有序数对
,求“地理成绩为及格的学生中,数学成绩为优秀的人数比及格的人数少”的数对
的概率.
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【题目】在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知直线
上两点
的极坐标分别为
,圆
的参数方程为
(
为参数).
(1)设为线段
的中点,求直线
的平面直角坐标方程;
(2)判断直线与圆
的位置关系.
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