Question

【题目】如图，在多面体中，已知四边形为矩形，为平行四边形，点在平面内的射影恰好为点，的中点为，的中点为，且.

（1）求证：平面平面；

（2）求三棱锥的体积.

Answer 1

【答案】（1）证明过程如解析所示；（2）

【解析】试题分析：（1）由点E在平面ABCD内的射影恰为A，可得AE⊥平面ABCD，进一步得到平面ABCD⊥平面ABEG，又以BD为直径的圆经过A，C，AD=AB，可得BCD为正方形，再由线面垂直的性质可得BC⊥平面ABEG，从而得到EF⊥BC，结合AB=AE=GE，可得∠ABE=∠AEB=，从而得到∠AEF+∠AEB=，有EF⊥BE．再由线面垂直的判定可得EF⊥平面BCE，即平面EFP⊥平面BCE；（2） 连接DE，由（Ⅰ）知，AE⊥平面ABCD，则AE⊥AD，又AB⊥AD，则AB⊥平面ADE，得到GE⊥平面ADE．然后利用等积法求几何体ADC-BCE的体积．

试题解析：（1）证明：∵点在平面内的射影恰好为点，∴平面，

又平面，∴平面平面.

∵为矩形，又平面平面，∴平面.

∵平面，，又，∴，

又的中点为，∴，

∵，∴，

又，∴平面.

又平面，∴平面平面.

（2）∵平面，的中点为，为平行四边形，，

∴三棱锥的高为,

又，

∴.