Question

9．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足12S_n-36=3n²+8n，数列{log₃b_n}为等差数列，且b₁=3，b₃=27．
（Ⅰ）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）令c_n=（-1）ⁿ$（{{a_n}-\frac{5}{12}}）+{b_n}$，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由题意得${S_n}=\frac{1}{4}{n^2}+\frac{2}{3}n+3$，可得a₁=$\frac{1}{4}+\frac{2}{3}+3$，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1．可得a_n．设等差数列{log₃b_n}的公差为d，且b₁=3，b₃=27．可得2d=log₃27-log₃3．可得b_n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，${c_n}=\left\{\begin{array}{l}-\frac{1}{2}，n=1\\{（-1）^n}•\frac{n}{2}+{3^n}，n≥2.\end{array}\right.$当n=1，${T_1}=-\frac{1}{2}$．当n≥2时，T_n=$-\frac{1}{2}+（\frac{2}{2}+{3^2}）+（-\frac{3}{2}+{3^3}）+（\frac{4}{2}+{3^4}）+…+[{（-1）^n}•\frac{n}{2}+{3^n}]$
=$-\frac{1}{2}+\frac{2}{2}-\frac{3}{2}+\frac{4}{2}-…+{（-1）^n}•\frac{n}{2}+（{3^2}+{3^3}+…+{3^n}）$，对n分类讨论即可得出．

解答 解：（1）由题意得${S_n}=\frac{1}{4}{n^2}+\frac{2}{3}n+3$，∴a₁=$\frac{1}{4}+\frac{2}{3}+3$=$\frac{47}{12}$，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{4}{n}^{2}+\frac{2}{3}n+3$-$\frac{1}{4}（n-1）^{2}$-$\frac{2}{3}n$+$\frac{2}{3}$-3=$\frac{n}{2}$+$\frac{5}{12}$，
又$\frac{1}{2}+\frac{5}{12}$=$\frac{11}{12}$≠$\frac{47}{12}$，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{47}{12}，n=1}\\{\frac{n}{2}+\frac{5}{12}，n≥2}\end{array}\right.$．
设等差数列{log₃b_n}的公差为d，且b₁=3，b₃=27．
∴2d=log₃27-log₃3=3-1，解得d=1．
∴log₃b_n=log₃3+（n-1）=n，
∴b_n=3ⁿ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，${c_n}=\left\{\begin{array}{l}-\frac{1}{2}，n=1\\{（-1）^n}•\frac{n}{2}+{3^n}，n≥2.\end{array}\right.$
当n=1，${T_1}=-\frac{1}{2}$．
当n≥2时，T_n=$-\frac{1}{2}+（\frac{2}{2}+{3^2}）+（-\frac{3}{2}+{3^3}）+（\frac{4}{2}+{3^4}）+…+[{（-1）^n}•\frac{n}{2}+{3^n}]$
=$-\frac{1}{2}+\frac{2}{2}-\frac{3}{2}+\frac{4}{2}-…+{（-1）^n}•\frac{n}{2}+（{3^2}+{3^3}+…+{3^n}）$，
当n为奇数时，${T_n}=-\frac{1}{2}+（\frac{2}{2}-\frac{3}{2}）+（\frac{4}{2}-\frac{5}{2}）+…+（\frac{n-1}{2}-\frac{n}{2}）+（{3^2}+{3^3}+…+{3^n}）$
=$-\frac{1}{2}+（-\frac{1}{2}）（\frac{n-1}{2}）+\frac{{{3^2}（1-{3^{n-1}}）}}{1-3}=-\frac{19}{4}-\frac{n}{4}+\frac{{{3^{n+1}}}}{2}$，n=1适合此式；
当n为偶数时，${T_n}=-\frac{1}{2}+\frac{2}{2}+（-\frac{3}{2}+\frac{4}{2}）+（-\frac{5}{2}+\frac{6}{2}）+…+（-\frac{n-1}{2}+\frac{n}{2}）+（{3^2}+{3^3}+…+{3^n}）$
=$\frac{1}{2}•\frac{n}{2}+\frac{{{3^2}（1-{3^{n-1}}）}}{1-3}=-\frac{9}{2}+\frac{n}{4}+\frac{{{3^{n+1}}}}{2}$，
综上，T_n=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{19}{4}-\frac{n}{4}+\frac{{3}^{n+1}}{2}，n为奇数}\\{-\frac{9}{2}+\frac{n}{4}+\frac{{3}^{n+1}}{2}，n为偶数}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．