Question

已知抛物线y²=4x，过点M（0，2）的直线与抛物线交于A，B两点，且直线与x轴交于点C
（1）求证：|MC|²=|MA|•|MB|
（2）设

MA

=α

AC

，

MB

=β

BC

，试问α+β是否为定值？若是请求出定值，若不是请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₀，0）．设直线AB的方程为y=kx+2（k≠0），与抛物线的方程联立可得根与系数的关系，利用两点间的距离公式即可证明；
（2）利用向量相等可得x₁=α（x₀-x₁），x₂=β（x₀-x₂）．α+β=

x1

x0-x1

+

x2

x0-x2

，通过化简，把根与系数的关系及其C点的坐标代入即可得出定值．

解答：解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₀，0）．
设直线AB的方程为y=kx+2（k≠0），联立

y=kx+2 y2=4x

，化为k²x²-（4k+4）x+4=0．
∵直线AB与抛物线相交于两点，∴△=（4k+4）²-16k²＞0，解得k＞-

1

2

．
∴x1+x2=

4k+4

k2

，x1x2=

4

k2

．
由y=kx+2，令y=0，解得x=-

2

k

．∴C（-

2

k

，0）．
∴|MC|2=

4

k2

+4．
|MA||MB|=

x 2 1 +(y1-2)2

x 2 2 +(y2-2)2

=

(x1x2)2+ x 2 1 (kx2)2+ x 2 2 (kx1)2+(k2x1x2)2

=|x₁x₂|（1+k²）=

4

k2

(1+k2)=

4

k2

+4．
∴|MC|²=|MA|•|MB|．
（2）∵

MA

=α

AC

，

MB

=β

BC

，∴（x₁，y₁-2）=α（x₀-x₁，-y₁），（x₂，y₂-2）=β（x₀-x₂，-y₂）．
∴x₁=α（x₀-x₁），x₂=β（x₀-x₂）．
∴α+β=

x1

x0-x1

+

x2

x0-x2

=

x0(x1+x2)-2x1x2

x 2 0 -x0(x1+x2)+x1x2

=

- 2 k • 4k+4 k2 - 8 k2

4 k2 + 2 k • 4k+4 k2 + 4 k2

=-1．
∴α+β=-1是定值．

点评：本题考查了直线与抛物线相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、两点间的距离公式、向量相等等基础知识与基本技能方法，属于难题．