Question

已知cosα=

13

14

，cos（α-β）=-

1

7

，0＜α＜

π

2

＜β＜π．
求：（1）tan2α；（2）β

Answer 1

考点：两角和与差的余弦函数,二倍角的正切

专题：三角函数的求值

分析：（1）由同角三角函数的基本关系可得tanα，代入二倍角的正切公式计算可得；（2）由角的范围和已知可得sin（α-β），而cosβ=cos[α-（α-β）]，代值计算可得其值，由反三角函数可得β．

解答： 解：（1）∵0＜α＜

π

2

，cosα=

13

14

，
∴sinα=

1-( 13 14 )2

=

3 3

14

∴tanα=

sinα

cosα

=

3 3

13

，
∴tan2α=

2tanα

1-tan2α

=

39 3

71

（2）∵0＜α＜

π

2

＜β＜π，
∴-π＜α-β＜0，
∵cos（α-β）=-

1

7

＜0，
∴∴-π＜α-β＜-

π

2

，
∴sin（α-β）=-

1-(- 1 7 )2

=

4 3

7

，
∴cosβ=cos[α-（α-β）]
=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）
=

13

14

×(-

1

7

)+

3 3

14

×

4 3

7

=

23

98

∴β=arccos

23

98

点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及二倍角的正切公式，属中档题．