Question

已知函数f（x）=2cosx•sin（x+

π

3

）-

3

sin²x+sinx•cosx．
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）将函数f（x）的图象按向量

a

=（m，0）平移后得到g（x）的图象，求使函数g（x）为偶函数的m的最小正值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：利用倍角公式及和差公式把f（x）化成正弦型函数的标准形式，（1）根据正弦函数的单调区间求函数f（x）的单调区间；（2）由图象平移求出g（x）的解析式，由g（x）为偶函数得到m关于k的表达式，进而求出m的最小值．

解答： 解：f（x）=2cosx•sin（x+

π

3

）-

3

sin²x+sinx•cosx
=2cosx（

1

2

sinx+

3

2

cosx）-

3

2

（1-cos2x）+

1

2

sin2x
=

1

2

sin2x+

3

2

（1+cos2x）-

3

2

+

3

2

cos2x+

1

2

sin2x
=sin2x+

3

cos2x
=2sin（2x+

π

3

）；
（1）由

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

3π

2

+2kπ（k∈Z）
得：

π

12

+kπ≤x≤

7π

12

+kπ（k∈Z）
所以函数f（x）的单调递减区间为[

π

12

+kπ，

7π

12

+kπ]（k∈Z）．
（2）函数f（x）的图象按向量

a

=（m，0）平移后得到
g（x）=2sin[2（x-m）+

π

3

]=2sin（2x-2m+

π

3

）
要使g（x）为偶函数，须-2m+

π

3

=

π

2

+kπ（k∈Z）
∴m=-

π

12

-

kπ

2

（k∈Z）
当k=-1，m取最小值

5π

12

所以使函数g（x）为偶函数的m的最小正值为

5π

12

．

点评：本题考查了三角变换及三角函数的图象与性质，解决本题的关键是把函数f（x）化成正弦型函数的标准形式．