Question

如图所示，在平面直角坐标系xOy中，过椭圆E：

x2

4

+

y2

3

=1内一点P（1，1）的一条直线与椭圆交于点A，C，且

AP

=λ

PC

，其中λ为常数．
（1）求椭圆E的离心率；
（2）当点C恰为椭圆的右顶点时，试确定对应λ的值；
（3）当λ=1时，求直线AC的斜率．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）因为a²=4，b²=3，由此能求出离心率．
（2）因为C（2，0），所以直线PC的方程为y=-x+2，由

y=-x+2 x2 4 + y2 3 =1

，能求出λ=

5

7

．
（3）

AP

=

PC

，设A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），利用点差法能求出kAC=-

3

4

．

解答： （本小题满分16分）
解：（1）因为a²=4，b²=3，
所以c²=1，即a=2，c=1，
所以离心率e=

c

a

=

1

2

．（4分）
（2）因为C（2，0），所以直线PC的方程为y=-x+2，…（6分）
由

y=-x+2 x2 4 + y2 3 =1

，解得A(

2

7

，

12

7

)，…（8分）
代入

AP

=λ

PC

中，得λ=

5

7

．…（10分）
（3）因为λ=1，所以

AP

=

PC

，
设A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
则x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，…（12分）
又

x12

4

+

y12

3

=1，

x22

4

+

y22

3

=1，
两式相减，得

(x1+x2)(x1-x2)

4

+

(y1+y2)(y1-y2)

3

=0，
即

x1-x2

4

+

y1-y2

3

=0，
从而

y1-y2

x1-x2

=-

3

4

，即kAC=-

3

4

．…（16分）

点评：本题考查椭圆的离心率的求法，考查实数的求法，考查直线的斜率的求法，解题时要认真审题，注意点差法的合理运用．