Question

已知函数f（x）=ax³+bx²的图象经过点M（1，4），曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y-3=0垂直．
（1）求实数a、b的值
（2）若函数f（x）在区间[m，m+1]上单调递增，求m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：（1）将M的坐标代入f（x）的解析式，得到关于a，b的一个等式；求出导函数，求出f′（1）即切线的斜率，利用垂直的两直线的斜率之积为-1，列出关于a，b的另一个等式，解方程组，求出a，b的值．
（2）求出 f′（x），令f′（x）＞0，求出函数的单调递增区间，据题意知[m，m+1]⊆（-∞，-2]∪[0，+∞），列出端点的大小，求出m的范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=ax³+bx²的图象经过点M（1，4），∴a+b①
又f'（x）=3ax²+2bx，则f'（1）=3a+2b，由条件知f'（1）=9，
即 3a+2b②
由①、②解得

a=1 b=3

（2）f（x）=x³+3x²，f'（x）=3x²+6x，
令f′（x）=3x²+6x≥0，得x≥0，或x≤-2，
若函数f（x）在区间[m，m+1]上单调递增，则[m，m+1]⊆（-∞，-2]∪[0，+∞），
∴m≥0，或m+1≤-2，即m≥0，或m≤-3，
∴m的取值范围是（-∞，-3]∪[0，+∞）

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查导数的几何意义，考查方程思想与集合的包含关系，考查分析运算能力，属于中档题．