Question

已知函数f（x）=log_a

mx+1

x-1

（a＞1）为奇函数
（1）求实数m的值；
（2）指出函数y=f（x）的单调区间（无需证明）；
（3）若仅有一个常数c使得对于任意的s∈[a，2014a]，都有t∈[a，a²]满足方程f(

s+1

s-1

)+f(

t+1

t-1

)=c，求实数a的值．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的性质

专题：转化思想,函数的性质及应用

分析：（1）由函数f（x）是奇函数，得f（-x）+f（x）=0，求出m的值；
（2）m=1时，f（x）=log_a

x+1

x-1

，求出f（x）的单调区间；
（3）由题意，f(

s+1

s-1

)+f(

t+1

t-1

)=c可化为log_as+log_at=c，即s=

ac

t

（a＞1）；
考查反比例函数s=

ac

t

在区间[a，a²]的单调性，得

a= ac a2 2014a= ac a

，从而求出a、c的值．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=log_a

mx+1

x-1

（a＞1）为奇函数，
∴f（-x）+f（x）=log_a

-mx+1

-x-1

+log_a

mx+1

x-1

=log_a

(-mx+1)(mx+1)

(-x-1)(x-1)

=0，
∴1-m²x²=1-x²，
即m=±1，m=-1不合题意，
∴m=1；
（2）当m=1时，奇函数f（x）=log_a

x+1

x-1

，

x+1

x-1

＞0；
∴x＜-1，或x＞1；
∴f（x）的单调区间是（-∞，-1）和（1，+∞）；
（3）∵f(

s+1

s-1

)+f(

t+1

t-1

)=c，即log_as+log_at=c；
∴s＞0，t＞0，∴s=

ac

t

（a＞1）；
该函数是反比例函数，
∴函数s=

ac

t

在区间[a，a²]上单调递减；
∴

a= ac a2 2014a= ac a

，
又∵a＞1，c只有一个值；
∴解得c=3，a=2014，
即实数a的值是2014．

点评：本题考查了函数的性质与应用问题，解题时应用转化思想，利用函数的单调性求方程组的解，是中档题．