Question

已知数列{a_n}的各项都为正数，S_n=

1

a1 + a2

+

1

a2 + a3

+…+

1

an + an+1

．
（1）若数列{a_n}是首项为1，公差为

3

2

的等差数列，求S₆₇；
（2）若S_n=

n

a1 + an+1

，求证：数列{a_n}是等差数列．

Answer 1

考点：数列的求和,等差关系的确定,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）运用等差数列的通项公式，求出an，考虑

1

an + an+1

=

2

3

（

an+1

-

an

），再化简S_n，再求S₆₇；
（2）运用数学归纳法证明，当n=2时，化简得到a₂-a₃=a₁-a₂即a₁，a₂，a₃成等差数列，令n=k时，且a_k+1=a₁+kd，证明当n=k+1时，即k（a_k+2-a_k+1）=a_k+1-a₁，由假设即得a_k+2-a_k+1=d，从而得证．

解答： （1）解：若数列{a_n}是首项为1，公差为

3

2

的等差数列，
则a_n=1+

3

2

(n-1)=

3

2

n-

1

2

，
则

1

an + an+1

=

an+1 - an

an+1-an

=

2

3

（

an+1

-

an

），
则S₆₇=

2

3

（-

a1

+

a2

-

a2

+

a3

+…+

a68

-

a67

）=

2

3

（

a68

-

a1

）
=

2

3

（

406

2

-1）．
（2）证明：当n=2时，S₂=

2

a1 + a3

=

1

a1 + a2

+

1

a2 + a3

即

a2 - a3

( a1 + a3 )( a1 + a2 )

=

a1 - a2

( a2 + a3 )( a1 + a3 )

∴a₂-a₃=a₁-a₂即a₁，a₂，a₃成等差数列
令n=k时，

1

a1 + a2

+

1

a2 + a3

+…+

1

ak + ak+1

=

k

a1 + ak+1

且又{a_k}为等差数列且a_k+1=a₁+kd
当n=k+1时，

1

a1 + a2

+

1

a2 + a3

+…

1

ak + ak+1

+

1

ak+1 + ak+2

=

k+1

a1 + ak+2

即有

k

a1 + ak+1

+

1

ak+1 + ak+2

=

k+1

a1 + ak+2

k•

ak+2 - ak+1

( a1 + ak+1 )( a1 + ak+2 )

=

ak+1 - a1

( a1 + ak+2 )( ak+1 + ak+2 )

即k（a_k+2-a_k+1）=a_k+1-a₁
∵a_k+1=a₁+kd即a_k+2-a_k+1=d
∴n=k+1时，{a_k+1}也是等差数列，
综上得，{a_n}是等差数列．

点评：本题主要考查等差数列的通项和裂项相消求和法，同时考查运用数学归纳法证明数列问题，注意解题步骤，注意运用假设，本题属于中档题．