Question

若函数f（x）的定义域内存在实数x，满足f（-x）=-f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．例如：f（x）=x²+x-1在R上存在x=1，满足f（-1）=-f（1），故称f（x）=x²+x-1为“局部奇函数”．
（1）已知二次函数f（x）=ax²+2bx-4a（a，b∈R），试判断f（x）是否为“局部奇函数”，并说明理由；
（2）设f（x）=2^x+m是定义在[-1，1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）f（x）为“局部奇函数”等价于关于x的方程f（-x）+f（x）=0有解．解对应的方程，可得结论；
（2）若f（x）=2^x+m是定义在[-1，1]上的“局部奇函数”，即方程2^x+2^-x+2m=0在[-1，1]上有解，利用换元法可求出实数m的取值范围．

解答： 解：（1）f（x）为“局部奇函数”等价于关于x的方程f（-x）+f（x）=0有解．
f（-x）+f（x）=0，即2a（x²-4）=0     …（3分）
解得x=±2，
∴f（x）为“局部奇函数”…（5分）
（2）∵f（x）=2^x+m，
∴f（-x）+f（x）=0可转化为2^x+2^-x+2m=0  …（8分）
∵f（x）=2^x+m是定义在[-1，1]上的“局部奇函数”，
∴方程2^x+2^-x+2m=0在[-1，1]上有解，
令t=2^x，（t∈[

1

2

，2]，
∴-2m=t+

1

t

，…（9分）
∵g（t）=t+

1

t

在[

1

2

，1）上递减，在[1，2]上递增，
∴g（t）∈[2，

5

2

]…（11分）
∴-2m∈[2，

5

2

]，
即m∈[-

5

4

，-1]…（13分）

点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，其中正确理解“局部奇函数”的概念是解答的关键．