Question

已知函数f（x）=ax²+bx-1，a∈（0，4），b∈R．
（1）若b＜0，且当x∈[-

1

a

，0]时，f（x）∈[-

3

a

，0]，求a，b的值；
（2）是否存在实数a，b，使f（x）恰有一个零点x₀∈（1，2），若存在，请给出一对实数a，b；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理,二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）函数f（x）=ax²+bx-1，a∈（0，4）的图象是开口朝上，且以直线x=-

b

2a

为对称轴的抛物线，故当b＜0时，函数f（x）=ax²+bx-1在[-

1

a

，0]上为减函数，进而根据函数的定义域和值域，可构造方程组，解方程组求出a，b的值；
（2）若f（x）恰有一个零点x₀∈（1，2），则f（1）•f（2）＜0，即（a+b-1）（4a+2b-1）＜0，举出正例可得结论．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=ax²+bx-1，a∈（0，4）的图象是开口朝上，且以直线x=-

b

2a

为对称轴的抛物线，
故当b＜0时，函数f（x）=ax²+bx-1在[-

1

a

，0]上为减函数，
又∵f（x）∈[-

3

a

，0]，
∴f（0）=1=-

3

a

，且f（-

1

a

）=

1

a

-

b

a

-1=0，
解得：a=-3，b=4，
（2）若f（x）恰有一个零点x₀∈（1，2），
则f（1）•f（2）＜0，
即（a+b-1）（4a+2b-1）＜0，
当a=1，b=-1时，满足要求

点评：本题考查的知识点是函数零点的判定定理，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象和性质及零点存在定理是解答的关键．