Question

如图F₁、F₂为椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1的左、右焦点，D、E是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率e=

3

2

，S_△DEF₂=1-

3

2

．若点M（x₀，y₀）在椭圆C上，则点N（

x0

a

，

y0

b

）称为点M的一个“椭点”，直线l与椭圆交于A、B两点，A、B两点的“椭点”分别为P、Q．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）问是否存在过左焦点F₁，的直线l，使得以PQ为直径的圆经过坐标原点？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题意得e=

c

a

=

3

2

，S△DEF2=

1

2

(a-c)×b=1-

3

2

，由此能求出椭圆C的标准方程．
（2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=-

3

，以PQ为直径的圆不过坐标原点；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+

3

），联立

y=k(x+ 3 ) x2 4 +y2=1

，得（4k²+1）x²+8

3

k2x+12k²-4=0，由根与系数的关系，能求出直线方程为y=

2

2

x+

6

2

或y=-

2

2

x-

6

2

．

解答： 解：（1）由题意得e=

c

a

=

3

2

，∴c=

3

2

a，b=

1

2

a，
S△DEF2=

1

2

(a-c)×b=

1

2

(a-

3

2

a)×

a

2

=

1

4

(1-

3

2

)a2=1-

3

2

，
∴a²=4，即a=2，∴b=1，c=

3

，
∴椭圆C的标准方程为

x2

4

+y2=1．
（2）①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=-

3

联立

x=- 3 x2 4 +y2=1

，解得

x=- 3 y= 1 2

或

x=- 3 y=- 1 2

，
不妨令A（-

3

，

1

2

），B（-

3

，-

1

2

），
∴对应的“椭点”坐标P（-

3

2

，

1

2

），Q（-

3

2

，-

1

2

）．而

OP

•

OQ

=

1

2

≠0．
∴此时以PQ为直径的圆不过坐标原点．
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+

3

），
联立

y=k(x+ 3 ) x2 4 +y2=1

，消去y，得：（4k²+1）x²+8

3

k2x+12k²-4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则这两点的“椭点”坐标分别为P（

x1

2

，y1），Q（

x2

2

，y2），
由根与系数的关系，得x1+x2=

-8 3 k2

4k2+1

，x1x2=

12k2-4

4k2+1

，
若使得以PQ为直径的圆经这坐标原点，则OP⊥OQ，
而

OP

=（

x1

2

，y1），

OQ

=(

x2

2

，y2)，
∴

OP

•

OQ

=0，
即

x1

2

•

x2

2

+y1•y2=0，
∴

2k2-1

4k2+1

=0，解得k=±

2

2

，
∴直线方程为y=

2

2

x+

6

2

或y=-

2

2

x-

6

2

．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．