Question

某种汽车购买时费用为22.5万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.8万元，汽车的维修费为：第一年0.1万元，第二年0.3万元，第三年0.5万元，…，依等差数列逐年递增．
（Ⅰ）设使用n年该车的总费用（包括购车费用）为f（n），试写出f（n）的表达式；
（Ⅱ）求这种汽车使用多少年报废最合算（即该车使用多少年平均费用最少）．

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用,函数解析式的求解及常用方法

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（I）依等差数列逐年递增，根据等差数列前n项和公式，即可得到f（n）的表达式；
（II）由（I）中使用n年该车的总费用，我们可以得到n年平均费用表达式，根据基本不等式，我们易计算出平均费用最小时的n值，进而得到结论．

解答： 解：（Ⅰ）依题意f（n）=22.5+[0.1+0.3+0.5+…+（0.2n-0.1）]+0.8n    
=0.1n²+0.8n+22.5；
（Ⅱ）设该车的年平均费用为S万元，则有S=

1

n

f（n）=0.1n+

22.5

n

+0.8≥2

2.25

+1=4
当且仅当0.1n=

22.5

n

，即n=15时，等号成立．
故：汽车使用15年报废为宜．

点评：本题考查的知识点是根据实际问题选择函数类型，基本不等式在最值问题中的应用，数列的应用，其中（I）的关键是由等差数列前n项和公式，得到f（n）的表达式，（II）的关键是根据基本不等式，得到函数的最小值点．