Question

如图，已知扇形AOB是半径为2，圆心角为

π

6

的装饰材料，点P是弧AB上的动点，△PQR为扇形的内接三角形，且PQ∥OA，某设计师计划在该扇形装饰材料上彩绘，并以△PQR为主题着色板，记∠POA=θ．
（Ⅰ）将主题着色板的面积S表示为θ的函数；
（Ⅱ）当角θ取何值时，主题着色板的面积S最大？并求出这个最大值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,弧度制的应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）作PE⊥OA于点E，QF⊥OA于点F，分别表示出PE，OF，进而可表示出EF，进而利用三角形面积公式表示出三角形的面积，并利用二倍角公式和两角和公式化简．
（Ⅱ）根据θ确定2θ+

π

3

的范围，进而根据三角函数的性质求得函数的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）作PE⊥OA于点E，QF⊥OA于点F，
在Rt△OEP中，PE=2sinθ，OE=2cosθ
在Rt△OQF中，OF=

QF

tan π 3

=2

3

sinθ
∴EF=OE-OF=2cosθ-2

3

sinθ，
∴S_△PQE=

1

2

PQ•PE=

1

2

EF•PE=

1

2

sinθ（2cosθ-2

3

sinθ）=2sinθcosθ-2

3

sin²θ=sin2θ-

3

（1-cos2θ）=sin2θ+

3

cos2θ-

3

=2sin（2θ+

π

3

）-

3

，（0＜θ＜

π

6

）
（Ⅱ）∵0＜θ＜

π

6

，所以

π

3

＜2θ+

π

3

＜

2π

3

，
∴当2θ+

π

3

=

π

2

，即θ=

π

12

时，S有最大值且为2-

3

．

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质．注重了对学生分析问题和基础知识的掌握．