Question

已知函数f（x）=x²+blnx的图象在x=4处的切线与直线y=6x+3平行．
（Ⅰ）求b的值； 
（Ⅱ）求f（x）的极值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的极值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义分别求出函数f（x）在x=4处的导数，根据函数f（x）的图象在x=4处的切线与直线y=6x+3平行，建立等量关系，求出b即可；
（Ⅱ）确定函数的单调性，即可求f（x）的极值．

解答： 解：（Ⅰ）对函数求导，得f′(x)=2x+

b

x

，
∴f（4）′=8+

b

4

=6，∴b=-8；
（Ⅱ）显然f（x）的定义域为（0，+∞）
由上问知b=-8，∴f′（x）=

2x2-8

x

令f′（x）=0，解得x=2或x=-2（舍去）
∴当0＜x＜2时，f′（x）＜0，当x＞2时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，2）上是单调递减函数，在（2，+∞）上是单调递增函数
∴f（x）在x=2时取得极小值且极小值为f（2）=4-8ln2．

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，函数的单调性与极值等基础题知识，考查运算求解能力、推理论证能力，属于中档题．