Question

已知函数f（x）=2

3

sinxcosx+2cos²x-1，（x∈R）．
（1）求函数f（x）的最小正周期．
（2）求函数f（x）在区间[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式化简整理，进而根据三角函数的性质求得函数的最小正周期．
（2）根据x的范围，确定2x+

π

6

的范围，最后根据三角函数图象和性质求得函数的最大和最小值．

解答： 解：（1）f(x)=2

3

sinxcosx+2cos2x-1=

3

(2sinxcosx)+2cos2x-1=

3

sin2x+cos2x=2sin(2x+

π

6

)，
∴函数f(x)=2

3

sinxcosx+2cos2x-1的最小正周期为π．
（2）∵f(x)=2sin(2x+

π

6

)在区间[0，

π

6

]上为增函数，在[

π

6

，

π

2

]上为减函数，
又f(0)=1，f(

π

6

)=2，f(

π

2

)=-1，
∴函数f(x)=2

3

sinxcosx+2cos2x-1在区间[0，

π

2

]上的最大值为2，最
小值为-1．

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质．考查了学生对三角函数基础知识的灵活运用．