Question

设函数f（x）=ax²-（2a+1）x+2．
（Ⅰ）若f（x）＞-x-1恒成立，求a的取值范围；
（Ⅱ）当a＞0时，解不等式：f（x）＞0．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（I）若f（x）＞-x-1恒成立，即ax²-2ax+3＞0成立，等价于a=0或

a＞0 △=4a2-12＜0

，进而可得a的取值范围；
（Ⅱ）当a＞0时，函数f（x）=ax²-（2a+1）x+2的图象是开口朝上与x轴交于（2，0）点和（

1

a

，0）点的抛物线，结合函数的图象，对a进行分类讨论可得不等式：f（x）＞0的解集．

解答： 解：（I）若f（x）＞-x-1恒成立，
则ax²-2ax+3＞0恒成立，
即a=0或

a＞0 △=4a2-12＜0

，
解得：a∈[0，3），
故a的取值范围为[0，3）；
（II）当a＞0时，函数f（x）=ax²-（2a+1）x+2的图象是开口朝上与x轴交于（2，0）点和（

1

a

，0）点的抛物线，
若2＜

1

a

，即0＜a＜

1

2

，f（x）＞0的解集为：（-∞，2）∪（

1

a

，+∞）；
若2=

1

a

，即a=

1

2

，f（x）＞0的解集为：（-∞，2）∪（2，+∞）；
若2＞

1

a

，即a＞

1

2

，f（x）＞0的解集为：（-∞，

1

a

）∪（2，+∞）；

点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，恒成立问题，解二次不等式，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．