Question

8．（1）已知sinx-cosx=$\frac{1}{3}$，求sin⁴x+cos⁴x的值；
（2）已知sinx+cosx=-$\frac{7}{13}$（0＜x＜π），求cosx-2sinx的值．

Answer 1

分析 （1）将已知等式两边平方，利用同角三角函数间基本关系求出sinxcosx的值，原式利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系化简，将sinxcosx的值代入计算即可求出值；
（2）由已知等式右边的式子小于0，根据x的范围得到sinx大于0，cosx小于0，把已知等式两边平方求出2sinxcosx的值，再利用同角三角函数间的基本关系及完全平方公式求出sinx-cosx的值，与已知等式联立求出sinx与cosx的值即可求cosx-2sinx的值．

解答 解：（1）将sinx-cosx=$\frac{1}{3}$，两边平方得：（sinx-cosx）²=1-2sinxcosx=$\frac{1}{9}$，
∴sinxcosx=$\frac{4}{9}$，
则sin⁴x+cos⁴x=（sin²x+cos²x）²-2sin²xcos²x=1-2sin²xcos²x=$\frac{49}{81}$；
（2）∵sinx+cosx=-$\frac{7}{13}$（0＜x＜π），
∴cosx＜0，sinx＞0，即sinx-cosx＞0，
把sinx+cosx=-$\frac{7}{13}$①，两边平方得：1+2sinxcosx=$\frac{49}{169}$，即2sinxcosx=-$\frac{120}{169}$，
∴（sinx-cosx）²=1-2sinxcosx=$\frac{289}{169}$，即sinx-cosx=$\frac{17}{13}$②，
联立①②，解得：sinx=$\frac{5}{13}$，cosx=-$\frac{12}{13}$，
∴cosx-2sinx=-$\frac{22}{13}$．

点评 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．