Question

点P是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）左支上的点，右焦点为F（c，0），若M为线段FP的中点，且M到原点的距离为

c

8

，则双曲线的离心率e的取值范围是（　　）

• A、（1，

  4

  3

  ]
• B、（1，8]
• C、（

  4

  3

  ，

  5

  3

  ）
• D、（2，3]

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：直接利用双曲线的定义，结合三角形的中位线定理，推出a，b，c的关系，求出双曲线的离心率．

解答： 解：设双曲线的左焦点为F₁，
因为点P是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）左支上的一点，
其右焦点为F（c，0），若M为线段FP的中点，
且M到坐标原点的距离为

c

8

，
由三角形中位线定理可知：OM=

1

2

PF₁，
PF₁=PF-2a，PF≥a+c．
所以

1

4

c+2a≥a+c，即有c≤

4

3

a，即e=

c

a

≤

4

3

，
但e＞1，则1＜e≤

4

3

．
故选A．

点评：本题是中档题，考查双曲线的基本性质，找出三角形的中位线与双曲线的定义的关系，得到PF≥a+c．是解题的关键．