Question

7．已知n∈N₊，函数f（n）=$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+…+\frac{1}{2n+1}$，则f（2）-f（1）=-$\frac{1}{20}$；f（n+1）-f（n）=-$\frac{1}{4{n}^{2}+10n+6}$．

Answer 1

分析 由已知条件分别代入1，2，n，n+1，然后进行化简求值即可．

解答 解：∵函数f（n）=$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+…+\frac{1}{2n+1}$，
∴f（2）-f（1）=$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$=-$\frac{1}{20}$．
f（n+1）-f（n）=$\frac{1}{n+2}+…+\frac{1}{2n+1}$+$\frac{1}{2n+2}+\frac{1}{2n+3}$-（$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+…+\frac{1}{2n+1}$）=$-\frac{1}{{4{n^2}+10n+6}}$．
故答案为：$-\frac{1}{20}$；$-\frac{1}{{4{n^2}+10n+6}}$．

点评 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．