Question

18．如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA₁=2，D、E分别是CC₁与A₁B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的垂心G．
（Ⅰ）求A₁B与平面ABD所成角的正弦；
（Ⅱ）求点A₁到平面AED的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结BG，则BG是BE在ABD的射影，则∠EBG是A₁B与平面ABD所成的角，由已知可得GE=DF，在直角三角形EFD中，通过求解直角三角形得$FD=\sqrt{3}$，进一步求得AB=$2\sqrt{2}$，${A}_{1}B=2\sqrt{3}，EB=\sqrt{3}$，则A₁B与平面ABD所成角的正弦值可求；
（Ⅱ）连结A₁D，利用等积法求得A₁到平面AED的距离．

解答 解：（Ⅰ）连结BG，则BG是BE在ABD的射影，
即∠EBG是A₁B与平面ABD所成的角，
设F为AB的中点，连结EF、FC，
∵D，E分别是CC₁与A₁B的中点，
又DC⊥平面ABC，
∴CDEF为矩形，连接DE，G是ADB的重心，
∴GE=DF，
在直角三角形EFD中，$E{F}^{2}=FG•FD=\frac{1}{3}F{D}^{2}$，
∵EF=1，∴$FD=\sqrt{3}$，
于是$ED=\sqrt{2}，EG=\frac{1×\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∵$FC=CD=\sqrt{2}$，
∴AB=$2\sqrt{2}$，${A}_{1}B=2\sqrt{3}，EB=\sqrt{3}$，
∴$sin∠EBG=\frac{EG}{EB}=\frac{\sqrt{6}}{3}•\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}}{3}$，
∴A₁B与平面ABD所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{2}}{3}$；
（Ⅱ）连结A₁D，有${V}_{{A}_{1}-AED}={V}_{D-A{A}_{1}E}$，
∵ED⊥AB，ED⊥EF，
又EF∩AB=F，
∴ED⊥平面A₁AB，
设A₁到平面AED的距离为h，则${S}_{△AED}•h={S}_{△{A}_{1}AD}•ED$，
又${S}_{△{A}_{1}AE}=\frac{1}{2}{S}_{△{A}_{1}AB}=\frac{1}{4}{A}_{1}A•AB=\sqrt{2}$．
${S}_{△AED}=\frac{1}{2}AE•ED=\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴$h=\frac{\sqrt{2}×\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{6}}{2}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}$，即A₁到平面AED的距离$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查直线与平面所成的角，考查了点到平面距离的求法，考查空间想象能力和思维能力，考查计算能力，是中档题．