Question

10．已知直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t+4\sqrt{2}\end{array}\right.$（其中t为参数），圆C的极坐标方程为$ρ=2cos（{θ+\frac{π}{4}}）$，
（Ⅰ）将圆C的极坐标方程和直线l的参数方程转化为普通方程．
（Ⅱ）过直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．

Answer 1

分析 （I）先利用三角函数的和角公式展开圆C的极坐标方程的右式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，进行代换即得圆C的直角坐标方程；消去参数，可得直线l的参数方程．
（II）欲求切线长的最小值，转化为求直线l上的点到圆心的距离的最小值，故先在直角坐标系中算出直线l上的点到圆心的距离的最小值，再利用直角三角形中边的关系求出切线长的最小值即可．

解答 解：（Ⅰ）∵圆C的极坐标方程为ρ=2cos（θ+$\frac{π}{4}$），∴ρ²=$\sqrt{2}$ρcosθ-$\sqrt{2}$ρsinθ，
∴x²+y²=$\sqrt{2}$x-$\sqrt{2}$y，即（x-$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$）²+（y+$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$）²₌1，
∴圆C是以M（$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，-$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$）为圆心，1为半径的圆
化直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t+4\sqrt{2}\end{array}\right.$（t为参数）为普通方程：x-y+4$\sqrt{2}$=0，…（3分）
（Ⅱ）∵圆心M（$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，-$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$）到直线l的距离为d=$\frac{{|{5\sqrt{2}}|}}{{\sqrt{2}}}$=5，…（5分）
要使切线长最小，必须直线l上的点到圆心的距离最小，此最小值即为圆心M（$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，-$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$）到直线的距离d，
由勾股定理求得切线长的最小值为$\sqrt{{d^2}-{r^2}}$=$\sqrt{{5^2}-{1^2}}$=2$\sqrt{6}$．…（7分）

点评 本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．