Question

6．某年青教师近五年内所带班级的数学平均成绩统计数据如表：

年份x年	2009	2010	2011	2012	2013
平均成绩y分	97	98	103	108	109

（1）利用所给数据，求出平均分与年份之间的回归直线方程$\hat y=bx+a$
（2）利用（1）中所求出的直线方程预测该教师2015年所带班级的数学平均成绩．
参考公式：b=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，a=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （1）先利用数据平均值的公式求出x，y的平均值，再计算b，a的值，即可求出平均分与年份之间的回归直线方程$\hat y=bx+a$，根据b＞0，可得成绩与年份成正相关关系；
（2）x=2015，代入回归直线方程，即可预测该教师2015年所带班级的数学平均成绩．

解答 解：（1）由题意，$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$（2009+2010+2011+2012+2013）=2011，$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$（97+98+103+108+109）=103，…（2分）
b=$\frac{（-2）（-6）+（-1）（-5）+0×0+1×5+2×6}{（-2）^{2}+{1}^{2}+{0}^{2}+{1}^{2}+{2}^{2}}$=3.4…（4分）
a=103-3.4×2011=-6734.4…（6分）
∴y=3.4x-6734.4，
∵b＞0
∴成绩与年份成正相关关系…（8分）
（2）y=3.4x-6734.4=3.4×2.15-6734.4=116.6
∴预测2015年该班的数学平均成绩为116．（6分）    …（12分）

点评 解决线性回归直线的方程，利用最小二乘法求出直线的截距和斜率，利用回归直线方程可预测．