Question

13．设数列{a_n}满的前n项和为S_n，且S_n+a_n=2，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设${b_n}=\frac{1}{{{{log}_2}{a_{n+1}}{{log}_2}{a_{n+2}}}}$，求数列{$\frac{1}{{n{b_n}}}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）n=1时，S₁+a₁=2，求出a₁=1，n≥2时，S_n+a_n-S_n-1-a_n-1=0，求出$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=\frac{1}{2}$，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由已知推导出$\frac{1}{n{b}_{n}}$=n+1，由此能求出数列{$\frac{1}{{n{b_n}}}$}的前n项和．

解答 解：（1）∵数列{a_n}满的前n项和为S_n，且S_n+a_n=2，n∈N^*．
∴n=1时，S₁+a₁=2，解得a₁=1，
n≥2时，S_n+a_n-S_n-1-a_n-1=0，
∴2a_n=a_n-1，∵a₁=1≠0，∴$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=\frac{1}{2}$，
∴数列{a_n}是首项为1，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列．
∴${a_n}={（{\frac{1}{2}}）^{n-1}}$．
（2）∵${b_n}=\frac{1}{{{{log}_2}{a_{n+1}}{{log}_2}{a_{n+2}}}}$=$\frac{1}{lo{g}_{2}（\frac{1}{2}）^{n}•lo{g}_{2}（\frac{1}{2}）^{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$，
∴$\frac{1}{n{b}_{n}}$=n+1，
∴数列{$\frac{1}{{n{b_n}}}$}的前n项和：
T_n=2+3+4+…n+（n+1）=$\frac{n（n+3）}{2}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．