Question

9．设偶函数f（x）对任意x∈R，都有$f（x+3）=-\frac{1}{f（x）}$，且当x∈[-3，-2]时，f（x）=2x，则f（113.5）的值是$\frac{1}{5}$．

Answer 1

分析 由偶函数的定义，可得f（-x）=f（x），将x换为x+3，可得f（x+6）=f（x），可得函数为6为周期的函数，f（113.5）=f（0.5）=-$\frac{1}{f（-2.5）}$，由解析式即可得到．

解答 解：∵$f（-x）=f（x），f（x+6）=f（x+3+3）=-\frac{1}{f（x+3）}=f（x）$，
∵f（x）的周期为6，
∴f（113.5）=f（19×6-0.5）=f（-0.5）
=f（0.5）=f（-2.5+3）
=$-\frac{1}{f（-2.5）}=\frac{-1}{2×（-2.5）}=\frac{1}{5}$．
故答案为：$\frac{1}{5}$．

点评 本题考查函数的奇偶性和周期性的判断和运用，考查运算能力，属于中档题．