Question

已知锐角α，β满足sinβ=mcos（α+β）•sinα（m＞0，α+β≠

π

2

），若x=tanα，y=tanβ，
（1）求y=f（x）的表达式；
（2）当α∈[

π

4

，

π

2

）时，求（1）中函数y=f（x）的最大值．

Answer 1

考点：两角和与差的正切函数

专题：三角函数的求值

分析：（1）由条件利用同角三角函数的基本关系、两角和差的正切公式可得tan（α+β）=（m+1）tanα，即 tanβ=tan[（α+β）-α]=

mtanα

1+(m+1)tan2α

．再根据x=tanα，y=tanβ，求得y=f（x）的解析式．
（2）当α∈[

π

4

，

π

2

）时，x∈[1，+∞），y=

m

1 x +(m+1)x

．令h（x）=

1

x

+（m+1）x，根据h（x）的单调性可得函数f（x）在[1，+∞）上是减函数，从而求得y=f（x）的最大值．

解答： 解：（1）∵sinβ=mcos（α+β）•sinα=sin[（α+β）-α]=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα，
∴sin（α+β）cosα=（m+1）cos（α+β）sinα，
∴tan（α+β）=（m+1）tanα 即 tanβ=tan[（α+β）-α]=

tan(α+β)-tanα

1+tan(α+β)tanα

=

mtanα

1+(m+1)tan2α

．
∵x=tanα，y=tanβ，∴y=f（x）=

mx

1+(m+1)x2

．
（2）当α∈[

π

4

，

π

2

）时，x∈[1，+∞），y=

mx

1+(m+1)x2

=

m

1 x +(m+1)x

．
令h（x）=

1

x

+（m+1）x，则函数h（x）在[

1

m+1

，+∞）上是增函数．
再由m＞0，可得0＜

1

m+1

＜1，故函数h（x）在[1，+∞）上是增函数．
∴f（x）在[1，+∞）上是减函数，
∴当x=1时，f(x)max=

m

m+2

．

点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的正切公式，利用函数的单调性求函数的最值，属于中档题．