Question

函数f（x）=6cos²

ωx

2

+

3

sinωx-3（ω＞0）的部分图象如图所示．A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．
（1）若x∈[0，1]，求函数f（x）的值域；
（2）若f（x₀）=

8 3

5

，且x₀∈（-

10

3

，

2

3

），求cos（

πx0

4

+

π

3

）的值．

Answer 1

考点：两角和与差的余弦函数,二倍角的余弦,由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）化简可得f（x）=2

3

sin（ωx+

π

3

），由已知可得周期，进而可得ω，可得函数的解析式，由x的范围可得；（2）由题意可得sin（

π

4

x₀+

π

3

）=

4

5

，由同角三角函数的基本关系可得要求的值．

解答： 解：（1）由已知得f（x）=6cos²

ωx

2

+

3

sinωx-3
=3cosωx+

3

sinωx=2

3

sin（ωx+

π

3

）
又△ABC为正三角形，且高为2

3

，可得BC=4．
∴函数f（x）的最小正周期为8，即

2π

ω

=8，
解得ω=

π

4

，∴f（x）=2

3

sin（

π

4

x+

π

3

），
∵x∈[0，1]，∴

π

4

x+

π

3

∈[

π

3

，

7π

12

]，
∴sin（

π

4

x+

π

3

）∈[

3

2

，1]
∴f（x）∈[3，2

3

]，
∴函数f（x）的值域为：[3，2

3

]；
（2）∵f（x₀）=

8 3

5

，
∴f（x₀）=2

3

sin（

π

4

x₀+

π

3

）=

8 3

5

，
化简可得sin（

π

4

x₀+

π

3

）=

4

5

，
∵x₀∈（-

10

3

，

2

3

），∴（

π

4

x₀+

π

3

）∈（-

π

2

，

π

2

）
∴cos（

πx0

4

+

π

3

）=

1-sin2( πx0 4 + π 3 )

=

3

5

点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及同角三角函数的基本关系和三角函数的值域，属中档题．