Question

【题目】已知函数．

（Ⅰ）若，求在处的切线方程；

（Ⅱ）若对任意均有恒成立，求实数的取值范围；

（Ⅲ）求证：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）证明见解析.

【解析】

（Ⅰ）根据导数的几何意义求得斜率后，利用点斜式即可得解；

（Ⅱ）先求导，根据、分类讨论函数单调性，结合即可得解；

（Ⅲ）由（Ⅱ）知当时，，转化可得，进而可得，即可得证.

（Ⅰ）当时，，则，所以，

所以切线方程为即；

（Ⅱ）由题意，

令，则，，

当时，，在时恒成立；

当时，图象的对称轴为，由、可得在时恒成立；

所以当时，函数在上单调递减，所以，符合题意；

当时，，，图象的对称轴，

所以存在，使得，

则当时，即，函数单调递增，

此时，不合题意.

故所求实数的取值范围为；

（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，当时，函数在单调递减，，

易知当时，即，

所以即，所以，

令，则，

所以，得证.