Question

已知数列{an}的相邻两项an，an＋1是关于x的方程x2－2nx＋bn＝0的两根，且a1＝1.

(1)求证：数列是等比数列；

(2)求数列{an}的前n项和Sn；

(3)设函数f(n)＝bn－t·Sn(n∈N*)，若f(n)＞0对任意的n∈N*都成立，求t的取值范围．

 

Answer 1

（1）见解析（2）（3）t＜1

【解析】(1)∵an＋an＋1＝2n，∴an＋1－·2n＋1＝－，

＝－1，∴是等比数列，

又a1－＝，q＝－1，∴an＝ [2n－(－1)n]．

(2)由(1)得Sn＝a1＋a2＋…＋an

＝ (2＋22＋…＋2n)－ [(－1)＋(－1)2＋…＋(－1)n]＝

＝

(3)∵bn＝an·an＋1，

∴bn＝[2n－(－1)n][2n＋1－(－1)n＋1]＝[22n＋1－(－2)n－1]，∴bn－t·Sn＞0，

∴[22n＋1－(－2)n－1]－t·＞0，∴当n为奇数时，

(22n＋1＋2n－1)－(2n＋1－1)＞0，∴t＜ (2n＋1)对任意的n为奇数都成立，∴t＜1.

∴当n为偶数时，

(22n＋1－2n－1)－(2n＋1－2)＞0，

∴ (22n＋1－2n－1)－ (2n－1)＞0，

∴t＜ (2n＋1＋1)对任意的n为偶数都成立，∴t＜.

综上所述，t的取值范围为t＜1