Question

【题目】如图所示的五面体中，是正方形，是等腰梯形，且平面平面，为的中点，，．

（1）求证：平面平面；

（2）为线段的中点，在线段上，记，是线段上的动点． 当为何值时，三棱锥的体积为定值？证明此时二面角为定值，并求出其余弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）时，为定值；二面角为定值的证明详见解析，余弦值为.

【解析】

（1）余弦定理求出边OA即可利用勾股定理推出，利用面面垂直的性质推出，则平面，由平面即可得证；（2）当时易证平面，则到平面的距离固定即三棱锥的体积为定值，建立空间直角坐标系，分别求出平面、平面的法向量、，代入即可求得二面角的余弦值.

（1）由，得，O为中点且，则，

故，

在中，，所以，则，

根据对称性可知，从而，所以．

又平面平面，平面平面，平面，，

所以平面，所以．

，平面，平面，

所以平面，平面，所以平面平面．

（2）当时，是的中位线，．

平面，平面，所以平面，

所以到平面的距离固定，此时，是定值．

以点为坐标原点，所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系．

．

，设平面的法向量为，则有

，令，得，所以．

由（1）可知，是平面的一个法向量．

所以，为定值．

根据图形可知，二面角为钝角，故其余弦值为．