Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面，底面为平行四边形，，且，，是棱的中点.

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值；

（3）在线段上(不含端点)是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，确定的位置；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析.（2）.（3）存在，

【解析】

（1）连接交于点，连接，可证，从而得线面平行；

（2）由题意以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，可用向量法求出线面角；

（3）在（2）基础上，设，求出平面和平面（（2）中已有）法向量，由法向量夹角与二面角的关系可求得．

（1）连接交于点，连接.

∵是平行四边形，∴是的中点.又是的中点，∴

又平面，平面，∴平面；

（2）以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，.

设平面的法向量为.

∵，

∴即

不妨取，得

又.

设直线与平面所成的角为，

则，

即直线与平面所成角的正弦值为．

（3）假设在线段上(不含端点)存在一点，使得二面角的余弦值为.连接.设， 得.

设平面的法向量为.

∵，

∴即

不妨取，得

设二面角的平面角为，

则.

化简得，

解得，或.

∵二面角的余弦值为，

∴.

∴在线段上存在一点，且，使得二面角的余弦值为.