Question

已知函数f（x）=xe^-x．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）当0＜x＜1时f（x）＞f（

k

x

），求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求函数的导数，即可求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）利用函数的单调性，将不等式进行转化即可得到结论．

解答： 解：（Ⅰ）由题知f'（x）=（1-x）e^-x（x∈R），当f'（x）＞0时，x＜1，当f'（x）＜0时，x＞1，----（3分）
所以函数f（x）的增区间为（-∞，1），减区间为（1，+∞），
其极大值为f(1)=

1

e

，无极小值．-----------（5分）
（Ⅱ）由题知0＜x＜1，当k≤0时，因为

k

x

≤0＜x＜1，由（1）知函数在（-∞，1）单调递增，
所以f(x)＞f(

k

x

)，符合题意；-------（7分）
当0＜k＜1时，取x=k，可得f（k）＞f（1），这与函数在（-∞，1）单调递增不符；（9分）
当k≥1时，因为

k

x

≥

1

x

＞1，由（1）知函数f（x）=xe^-x在（1，+∞）单调递减，
所以f(

k

x

)≤f(

1

x

)，即只需证f(x)＞f(

1

x

)，即证xe-x＞

1

x

e-

1

x

，
同时取对数得ln（xe^-x）＞ln（

1

x

e-

1

x

），
即lnx+lne^-x＞ln

1

x

+lne-

1

x

，
即lnx-x＞-lnx-

1

x

，2lnx-x+

1

x

＞0，令h(x)=2lnx-x+

1

x

(0＜x＜1)，
则h′(x)=

-x2+2x-1

x2

=-

(x-1)2

x2

＜0对0＜x＜1恒成立，
所以h（x）为（0，1）上的减函数，所以h（x）＞h（1）=0，
所以f(x)＞f(

k

x

)，符合题意．-------（11分）
综上：k∈（-∞，0]∪[1，+∞）为所求．------------（12分）

点评：本题主要考查函数单调性和极值的求解，以及导数与不等式的应用，考查学生的运算能力，综合性较强，难度较大．