Question

已知等比数列{a_n}的前n项和S_n=2ⁿ-a，n∈N^*．设公差不为零的等差数列{b_n}满足：b₁=a₁+2，且b₂+5，b₄+5，b₈+5成等比．
（Ⅰ） 求a及b_n；
（Ⅱ） 设数列{a_n}的前n项和为T_n．求使T_n＞b_n的最小正整数n的值．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等比数列的性质

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ） 当n=1时，a₁=S₁=2-a．当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2^n-1．由此能求出an=2n-1．设数列{b_n}的公差为d，由b₁=3，（b₄+5）²=（b₂+5）（b₈+5），得（8+3d）²=（8+d）（8+7d），由此能求出b_n=8n-5．
（Ⅱ）由an=2n-1，知log

2

an=2（n-1），故T_n=n（n-1），由此能求出使T_n＞b_n的最小正整数n的值．

解答： 解：（Ⅰ） 当n=1时，a₁=S₁=2-a．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2^n-1．
所以1=2-a，得a=1，
∴an=2n-1．
设数列{b_n}的公差为d，
由b₁=3，（b₄+5）²=（b₂+5）（b₈+5），得（8+3d）²=（8+d）（8+7d），
故d=0（舍去）或d=8．
所以a=1，b_n=8n-5，n∈N^*．…（7分）
（Ⅱ）由an=2n-1，知log

2

an=2（n-1），
∴T_n=n（n-1），
由b_n=8n-5，T_n＞b_n，得n²-9n+5＞0，
∴n∈N^*，∴n≥9．
所以，所求的n的最小值为9．…（14分）

点评：本题主要考查等差、等比数列的概念，通项公式及求和公式等基础知识，同时考查运算求解能力．