Question

已知抛物线y²=4x的准线与双曲线 

x2

a2

-y2=1 (a＞0)交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，若△FAB为直角三角形，则a的值为（　　）

• A、

  5

• B、

  3

• C、

  3

  3

• D、

  5

  5

Answer 1

分析：求出抛物线的准线为x=-1，焦点为F（1，0）．根据对称性可得△FAB是等腰直角三角形，从而算出A、B的坐标，将其代入双曲线方程，解关于a的等式即可得到实数a的值．

解答：解：∵抛物线的方程为y²=4x，
∴抛物线的准线为x=-1，焦点为F（1，0）．
又∵直线x=-1交双曲线 

x2

a2

-y2=1于A、B两点，△FAB为直角三角形．
∴△FAB是等腰直角三角形，AB边上的高FF'=2
由此可得A（-1，2）、B（-1，-2），如图所示
将点A或点B的坐标代入双曲线方程，得

1

a2

-4=1，解之得a=

5

5

（舍负）
故选：D

点评：本题给出抛物线与双曲线满足的条件，在已知抛物线的方程情况下求双曲线的标准方程．着重考查了抛物线、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．