Question

【题目】已知圆C：x2+y2﹣4x﹣4y+4=0，点E（3，4）．
（1）过点E的直线l与圆交与A，B两点，若AB=2 ，求直线l的方程；
（2）从圆C外一点P（x1 ， y1）向该圆引一条切线，切点记为M，O为坐标原点，且满足PM=PO，求使得PM取得最小值时点P的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：圆C方程可化为（x﹣2）2+（y﹣2）2=4

当直线l与x轴垂直时，满足 ，所以此时l：x=3

当直线l与x轴不垂直时，设直线l方程为y﹣4=k（x﹣3），

即y=kx﹣3k+4

因为 ，所以圆心到直线的距离

由点到直线的距离公式得 解得

所以直线l的方程为

所以所求直线l的方程为x=3或

（2）解：因为PM=PO， ，

化简得y1+x1﹣1=0

即点P（x1，y1）在直线y+x﹣1=0上，

当PM最小时，即PO取得最小，此时OP垂直直线y+x﹣1=0

所以OP的方程为y﹣x=0

所以 解得

所以点P的坐标为

【解析】（1）⊙C：x2+y2+2x﹣4y+3=0，化为标准方程，求出圆心C，半径r．分类讨论，利用C到l的距离为1，即可求直线l的方程；（2）设P（x，y）．由切线的性质可得：CM⊥PM，利用|PM|=|PO|，可得y+x﹣1=0，求|PM|的最小值，即求|PO|的最小值，即求原点O到直线y+x﹣1=0的距离．