Question

已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)．
(1)求f(2 012)的值；
(2)求证：函数f(x)的图像关于直线x＝2对称；
(3)若f(x)在区间[0,2]上是增函数，试比较f(－25)，f(11)，f(80)的大小．

Answer 1

(1)0  (2)见解析   (3) f(－25)<f(80)<f(11)

解：(1)因为f(x－4)＝－f(x)，
所以f(x)＝－f(x－4)＝－{－f[(x－4)－4]}＝f(x－8)，
知函数f(x)的周期为T＝8.
所以f(2 012)＝f(251×8＋4)＝f(4)＝－f(0)．
又f(x)为定义在R上的奇函数．
所以f(0)＝0，故f(2 012)＝0.
(2)证明：因为f(x)＝－f(x－4)，
所以f(x＋2)＝－f[(x＋2)－4]＝－f(x－2)＝f(2－x)，
知函数f(x)的图像关于直线x＝2对称．
(3)由(1)知f(x)是以8为周期的周期函数，
所以f(－25)＝f[(－3)×8－1]＝f(－1)，
f(11)＝f(8＋3)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)，
f(80)＝f(10×8＋0)＝f(0)．
又f(x)在[0,2]上是增函数，且f(x)在R上为奇函数，所以f(x)在[－2,2]上为增函数，则有f(－1)<f(0)<f(1)，
即f(－25)<f(80)<f(11)．