Question

已知函数f（x）=1+x-

x2

2

+

x3

3

-

x4

4

+…+

x2013

2013

，g（x）=1-x+

x2

2

-

x3

3

+

x4

4

+…-

x2013

2013

，设F（x）=f（x+3）g（x-4）且F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，则b-a的最小值是

 

．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：用零点存在性定理，得f（x）在R上有唯一零点x₁∈（-1，0），g（x）在R上有唯一零点x₂∈（1，2），结合函数图象的平移知识可得F（x）的零点所在的区间，由此不难得到b-a的最小值．

解答： 解：∵f（x）=1+x-

x2

2

+

x3

3

-

x4

4

+…-

x2012

2012

+

x2013

2013

，
f′（x）=1-x+x²-…+x²⁰¹²=

1-x2013

1-x

1-(-x)2013

1-(-x)

=

1+x2013

1+x

＞0，此时函数单调递增，
∵f（0）=1＞0，f（-1）=-

1

2

-

1

3

-…-

1

2013

＜0，
∴函数f（x）存在一个唯一的零点，
设函数f（x）的零点为x₁，
∴根据根的存在性定理可知x₁∈（-1，0）．
∵g（x）=1-x+

x2

2

-

x3

3

+…+

x2012

2012

-

x2013

2013

，
g′（x）=-1+x-x²-…-x²⁰¹²=

-1[1-(-x)2013)

1-(-x)

=-

1+x2013

1+x

＜0，
即函数单调递减，
∵g（1）=

1

2

-

1

3

+

1

4

-…+

1

2012

-

1

2013

＞0，
g（2）=1-2+

22

2

-

33

3

+…+

22012

2012

-

22013

2013

＜0，
设函数g（x）存在唯一的一个零点x₂，
∴根据根的存在性定理可知x₂∈（1，2）．
由F（x）=f（x+3）g（x-4）=0，
则f（x+3）=0或g（x-4）=0．
由x+3∈（-1，0）．得-1＜x+3＜0，
即-4＜x＜-3，
∴函数f（x+3）的零点在（-4，-3）．
由x-4∈（1，2）．，
得1＜x-4＜2，即5＜x＜6，
∴函数g（x-4）的零点在（5，6）．
即函数F（x）=f（x+3）•g（x-4）的零点在（-4，-3）和（5，6）内，
∵F（x）的零点均在区间[a，b]，（a＜b，a，b∈Z），
∴b≥6，a≤-4，
∴b-a≥10，
即b-a的最小值是10．

点评：本题给出关于x的多项式函数，求函数零点所在的区间长度的最小值．着重考查了函数的零点．综合性较强，难度较大．