Question

已知数列{a_n}的首项a₁=

3

5

，a_n+1=

3an

2an+1

，n=1，2…
（1）求证{

1

an

-1}是等比数列
（2）求出{a_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列递推式,等比关系的确定,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件推导出

1

an+1

-1=

1

3

（

1

an

-1），由此能证明{

1

an

-1}是首项为

2

3

，公比为

1

3

的等比数列．
（2）由已知条件得

1

an

-1=

2

3

•(

1

3

)n-1=2•(

1

3

)n，由此能求出{a_n}的通项公式．

解答： （1）证明：∵数列{a_n}的首项a₁=

3

5

，a_n+1=

3an

2an+1

，
∴

1

an+1

=

2an+1

3an

=

2

3

+

1

3an

，
∴

1

an+1

-1=

1

3

（

1

an

-1），
∴

1 an+1 -1

1 an -1

=

1

3

，
∵

1

a1

-1=

5

3

-1=

2

3

，
∴{

1

an

-1}是首项为

2

3

，公比为

1

3

的等比数列．
（2）解：∵{

1

an

-1}是首项为

2

3

，公比为

1

3

的等比数列．
∴

1

an

-1=

2

3

•(

1

3

)n-1=2•(

1

3

)n，
∴

1

an

=2•(

1

3

)n+1，
∴a_n=

1

2•( 1 3 )n+1

=

3n

3n+2

．

点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．