Question

已知两正数x，y满足x+y=1，求z=（x+

1

x

）（y+

1

y

）的最小值．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：将z进行变形构造出适合基本不等式适用的结构，再利用基本不等式求最值．

解答： 解：z=（x+

1

x

）（y+

1

y

）=xy+

1

xy

+

y

x

+

x

y

=xy+

1

xy

+

(x+y)2-2xy

xy

=xy+

2

xy

-2，
令t=xy，则0＜t=xy≤(

x+y

2

)2=

1

4

，（当且仅当x=y时取等号）．
由f（t）=t+

2

t

在（0，

1

4

]上单调递减，故当t=

1

4

时，f（t）=t+

2

t

有最小值

33

4

，
从而当且仅当x=y=

1

2

时，z有最小值为

33

4

-2=

25

4

．

点评：本题考查基本不等式的应用：求最值．基本不等式求最值时要注意三个原则：一正，即各项的取值为正；二定，即各项的和或积为定值；三相等，即要保证取等号的条件成立．