Question

20．关于平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$．有下列三个命题：
①若$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$，则$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{c}$；
②若$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$都是非零向量且“$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$”则“$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$）”；
③非零向量$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|，则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$的夹角为60°；
其中真命题的序号为②．（写出所有真命题的序号）

Answer 1

分析 ①若$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$，则$\overrightarrow{a}⊥（\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}）$，不一定$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{c}$，即可判断出正误；
②由①可知正确；
③非零向量$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|，设$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$，则$\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$，可得△OAB是等边三角形．设$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{OD}$，利用向量的平行四边形法则可得：四边形OADB是菱形，即可得出$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$的夹角为30°，即可判断出正误．

解答 解：①若$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$，则$\overrightarrow{a}⊥（\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}）$，不一定$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{c}$，因此不正确；
②若$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$都是非零向量且“$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$”，则“$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$）”，正确；
③非零向量$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|，设$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$，则$\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$，∴△OAB是等边三角形．设$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{OD}$，则四边形OADB是菱形，
则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$的夹角为30°，因此不正确；
其中真命题的序号为②．
故答案为：②．

点评 本题考查了向量的平行四边形法则、等边三角形的判定与性质、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．