Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦点F，直线x=

a2

c

与其渐近线交于A，B两点，且△ABF为钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：解三角形,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先通过联立方程组求出A，B坐标，根据△ABF为钝角三角形得到∠AFB＞90°，可知∠AFD＞45°，即DF＜DA再分别求出DF与DA长度，用含a，c的式子表示，
因为离心率等于

c

a

，即可求出离心率的范围．

解答： 解：双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±

b

a

x，
联立方程组

y=± b a x x2 a2 - y2 b2 =1

，解得A（

a2

c

，

ab

c

），B（

a2

c

，-

ab

c

），
设直线x=

a2

c

与x轴交于点D
∵F为双曲线的右焦点，∴F（C，0）
∵△ABF为钝角三角形，且AF=BF，∴∠AFB＞90°，∴∠AFD＞45°，即DF＜DA
∴c-

a2

c

＜

ab

c

，b＜a，c²-a²＜a²
∴c²＜2a²，e²＜2，e＜

2

又∵e＞1
∴离心率的取值范围是1＜e＜

2

故答案为：1＜e＜

2

点评：本题主要考查双曲线的离心率的范围的求法，关键是找到含a，c的齐次式，再解不等式．