Question

已知数列{a_n}是首项为a₁=

1

4

，公比q=

1

4

的等比数列．设b_n+2=3log 

1

4

a_n（n∈N^*），数列{c_n}满足c_n=a_n•b_n．（1）求证：数列{b_n}成等差数列；
（2）求数列{c_n}的前n项和S_n；
（3）若c_n≤

1

4

m2+m-1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和,数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由等比数列的通项公式可得，an=

1

4

×(

1

4

)n-1=(

1

4

)n，b_n+2=3log

1

4

(

1

4

)n=3n，即可得出b_n，进而证明{b_n}为等差数列．
（2）c_n=a_n•b_n=(3n-2)•(

1

4

)n，利用“错位相减法”即可得出；
（3）c_n=a_n•b_n=(3n-2)•(

1

4

)n，可得c_n+1-c_n=-9(

1

4

)n+1(n-1)．即可得出（c_n）_max，由于c_n≤

1

4

m2+m-1对一切正整数n恒成立，可得

1

4

m2+m-1≥（c_n）_max，解出即可．

解答： （1）证明：由已知可得，an=

1

4

×(

1

4

)n-1=(

1

4

)n，b_n+2=3log

1

4

(

1

4

)n=3n，
∴b_n=3n-2，b_n+1-b_n=3，
∴数列{b_n}为等差数列，其中b₁=1，d=3．
（2）解：c_n=a_n•b_n=(3n-2)•(

1

4

)n，
∴S_n=1×

1

4

+4×(

1

4

)2+…+(3n-2)•(

1

4

)n，

1

4

Sn=1×(

1

4

)2+4×(

1

4

)3+…+(3n-5)•(

1

4

)n+(3n-2)•(

1

4

)n+1，
两式相减可得：

3

4

Sn=

1

4

+3[(

1

4

)2+(

1

4

)3+…+(

1

4

)n]-(3n-2)•(

1

4

)n+1=

1

2

+3×

1 4 ( 1 4n -1)

1 4 -1

-(3n-2)×(

1

4

)n+1=

1

2

-(3n+2)•(

1

4

)n+1，
∴S_n=

2

3

-

12n+8

3

×(

1

4

)n+1．
（3）解：c_n=a_n•b_n=(3n-2)•(

1

4

)n，
∴c_n+1-c_n=(3n+1)•(

1

4

)n+1-(3n-2)•(

1

4

)n=-9(

1

4

)n+1(n-1)．
当n=1时，c₂=c₁；当n≥2时，c_n+1＜c_n，
∴（c_n）_max=c₁=c₂=

1

4

．∵c_n≤

1

4

m2+m-1对一切正整数n恒成立，∴

1

4

m2+m-1≥

1

4

，化为m²+4m-5≥0，
解得m≤-5或m≥1．
∴实数m的取值范围是m≤-5或m≥1．

点评：本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．