Question

某高校在2013年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[160，165），第2组[165，170），第3组[170，175），第4组[175，180），第5组[180，185），得到的频率分布直方图如图所示．
（1）分别求第3、4、5组的频率；
（2）为了能选拔出最优秀的学生，该校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，问每一组分别抽几个人．
（3）在这6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率．

Answer 1

考点：频率分布直方图,列举法计算基本事件数及事件发生的概率

专题：概率与统计

分析：（1）直接根据频数、频率、样本容量三者之间的关系，得到第3组的频率为0.06×5=0.3，第4组的频率为0.04×5=0.2，第5组的频率为0.02×5=0.1；
（2）由分层抽样可以求得第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人进入第二轮面试；
（3）从六位同学中抽两位同学有15种可能，抽取的是第4组的2位同学有9种可能，所以第4组的2位同学至少有一位同学入选的概率．

解答： 解：（1）由题设可知，第3组的频率为0.06×5=0.3，
第4组的频率为0.04×5=0.2，
第5组的频率为0.02×5=0.1…（3分）
（2）第3组的人数为0.3×100=30，
第4组的人数为0.2×100=20，
第5组的人数为0.1×100=10
因为第3、4、5组共有60名学生，
所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，
每组抽取的人数分别为第3组：

30

60

×6=3，
第4组：

20

60

×6=2
第5组：

10

60

×6=1，
所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人     …（7分）
（3）设第3组的3名学生分别为A₁、A₂、A₃，
第4组的2名学生分别为B₁、B₂，
第5组的1名学生为C₁，
则从6名学生中抽取两位学生有：
（A1，A2）、（A1，A3）、（A1，B1）、（A1，B2）、（A1，C1）、（A2，A3）、（A2，B1）、（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1），共15种可能．
其中第4组的2位学生B₁、B₂至少有一位学生入选的有：
（A1，B1）、（A1，B2）、（A2，B1）、（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1），共9种可能，
所以第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率为

9

15

=

3

5

…（12分）

点评：本题重点考查频率分布直方图、概率求解方法、频率、频数、样本容量三者之间的关系等知识，属于中档题．