Question

已知函数f（x）在定义域（0，+∞）上是单调函数，若对任意x∈（0，+∞），都有f[f（

1

x

）-x]=2，则不等式f（x）＞2x的解集为

 

．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：首先，根据函数f（x）在定义域（0，+∞）上是单调函数，若对任意x∈（0，+∞），都有f[f（

1

x

）-x]=2，得到f（

1

x

）-x为一个常数，令这个常数为n，则f（

1

x

）-x=n，f（n）=2，

解答： 解：根据题意，得
若对任意x∈（0，+∞），都有f[f（

1

x

）-x]=2，
得到f（

1

x

）-x为一个常数，
以t换

1

x

，得
f（t）-

1

t

=n，
则f（t）-

1

t

=n，f（n）=2，
∴f（t）=

1

t

+n，
∴f（n）=

1

n

+n=2，
∴n=1，
∵f（x）＞2x等价于
1+

1

x

＞2x，
∴-

1

2

＜x＜1，而定义域为（0，+∞）
∴{x|0＜x＜1}，
故答案为：{x|0＜x＜1}，

点评：本题考查的知识点是函数的值，函数解析式的求法，其中抽象函数解析式的求法，要注意对已知条件及未知条件的凑配思想的应用．